Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
---|---|---|---|
4313136 Modelització per a la Ciència i l'Enginyeria / Modelling for Science and Engineering | OT | 0 | 2 |
Els estudiants haurien de tenir coneixements bàsics de càlcul, àlgebra, equacions diferencials i en derivades parcials, i habilitats bàsiques de programació.
Les equacions diferencials parcials permeten formulacions matemàtiques deterministes de fenòmens en física i enginyeria, així com processos biològics entre molts altres escenaris.
L’objectiu d’aquest curs és presentar els principals resultats en el context d’equacions en derivades parcials que permeten aprendre sobre aquests models i estudiar mètodes numèrics
per a l’aproximació de la seva solució.
Introducció: classificació general de les equacions en derivades parcials, exemples de models. Equació de transport, mètode de característiques.
1. Equacions parabòliques
Mètode de Fourier. Equació de calor. Solució fonamental, nucli de Gauss, convolució i fórmula de solució per a el problema de valor inicial pur. Principi màxim i singularitat de la solució.
Mètodes numèrics: mètodes de diferències finites per a equacions parabòliques escalars: Euler explícit, Euler i implícita Mètodes Crank-Nicolson: prova d'estabilitat de Von Neumann.
Condició de CFL d'estabilitat parabòlica. Exemples.
2. Equacions el·líptiques
Teoria: problemes d'estat constant. Coordenades polars / esfèriques: solucions radials. Límit de Dirichlet i Neumann problemes de valor. Kernel de Poisson. Aplicacions.
Equacions d’Euler-Lagrange associades a problemes variacionals. Numèrics i exemples.
3. Equacions hiperbòliques
Lleis de conservació escalar. Solucions febles. Equació de Burgers. Ventiladors d’onades de xoc i expansions. Equacions de Hamilton-Jacobi i solucions de viscositat.
Introducció al mètode del conjunt de nivells. Equació eikonal.
Mètodes numèrics: mètodes de diferències finites en forma de conservació. Esquemes de captura de cops. Monòton esquemes: Lax-Friedrichs i esquemes de vent.
Condicions de convergència i estabilitat. Satisfacció de l'entropia esquemes. Exemples. Aplicacions de mètodes de nivell.
L'objectiu de les classes de teoria, problemes i pràctiques es donar als alumnes els coneixements mes bàsics de les equacions en derivades parcials i les seves aplicacions.
Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|
Tipus: Dirigides | |||
Classes de teoria i problemes | 30 | 1,2 | 7, 8, 10 |
Tipus: Supervisades | |||
Classes de pràctiques | 8 | 0,32 | 11 |
Tipus: Autònomes | |||
Estudis i treballs pràctics per part de l'alumne. | 96 | 3,84 | 7, 8, 10 |
Si el curs es pot fer presencial l'avaluació consistira en dos exàmens parcials i en l'entrega de la resolució de un problema mitjançant l'ordinador.
En cas que no es pugues fer el curs presencialment, aleshores els dilluns de cada setmana els alumnes rebran per e-mail els apunts i exercices a estudiar i fer durant aquella setmana, i els divendres rebran els exercicis results. I l'avaluació de l'assignatura és fera fent un treball mitjançant l'ordinador.
Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|---|
Primer examen parcial | 40% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Segon examen parcial | 40% | 4 | 0,16 | 10 |
Solució de un problema amb ordinador | 20% | 8 | 0,32 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).
B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).
F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).
P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973.
R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.
S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.
G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).
E.F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.
G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).